La roulette américaine et la roulette européenne acceptent la même progression de Fibonacci, mais le coût d'une longue série n'y est pas le même. La mise suit la suite 1, 1, 2, 3, 5, 8. Une perte avance d'un pas. Un gain recule de deux pas, et non au début. La croissance est plus lente que le doublement, le plafond de la table arrive donc plus tard, mais un seul gain ne rend pas toute l'échelle.
La suite est faite pour que chaque nombre égale la somme des deux précédents. Le paiement d'une chance simple égale la mise. Un gain sur le nombre en cours ferme donc les deux pas précédents et laisse les pertes plus anciennes en moins. C'est la différence principale avec la martingale, où un seul tour réussi remet le cycle à plus un jeton. La caisse peut accepter une pièce pour jouer en cryptomonnaie, mais le cours n'entre pas dans les numéros de la suite.
La roulette européenne retire une case perdante : 19 au lieu de 20. La suite atteint donc plus rarement la mise 89, et les nombres 1, 1, 2, 3, 5 ne dépendent pas de la composition de la roue.
L'échelle et la somme des pertes à la roulette américaine
Voici la suite pour un départ de 1 unité. « Somme » indique combien a déjà été misé si tous les pas jusqu'à cette ligne comprise sont perdus. Le douzième pas est 144. Le treizième est 233. Sur un maximum d'exercice de 500, la suite tient encore, alors que le doublement se heurte à l'interdiction de la mise 512 dès le dixième pas.
| Pas | Mise | Somme de toutes les pertes | Ce que ferme le gain de ce pas |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | le pas lui-même, cycle à zéro ou en plus de 1 |
| 2 | 1 | 2 | les deux premiers pas |
| 3 | 2 | 4 | les pas 2 et 3, le premier pas reste en moins |
| 4 | 3 | 7 | les pas 3 et 4 |
| 6 | 8 | 20 | les pas 5 et 6, soit 5 et 3 |
| 8 | 21 | 54 | les pas 7 et 8, soit 13 et 8 |
| 10 | 55 | 143 | les pas 9 et 10, soit 34 et 21 |
| 12 | 144 | 376 | les pas 11 et 12, soit 89 et 55 |
Exemple. La série est arrivée au pas 6, mise 8, et 12 ont déjà été perdus avant elle (1+1+2+3+5). Le gain de 8 reprend les derniers 5 et 3 et laisse en moins les 4 premières unités. Le repère revient au pas 4, la mise redevient 3. Le cycle n'est pas fini. La perte suivante le fait de nouveau avancer.
Combien la même profondeur coûte à la roulette américaine
Au huitième pas de Fibonacci, la mise égale 21, et la somme des pertes est 54. Le doublement, au même numéro de pas, mise 128 et a déjà 255 sur la table, si l'on compte les sept mises perdues précédentes plus la mise actuelle prête à partir. D'où l'intérêt pratique de la suite : la banque d'une série moyenne est plus petite, mais sortir du trou demande plusieurs gains, et non un seul.
| Profondeur | Mise Fibonacci | Mise du doublement | Perdu selon Fibonacci jusqu'à ce pas | Perdu selon le doublement avant ce pas |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 8 | 32 | 20 | 31 |
| 8 | 21 | 128 | 54 | 127 |
| 10 | 55 | 512 | 143 | 511 |
Le dixième pas du doublement ne peut déjà plus se poser sur beaucoup de tables. Le dixième pas de cette suite est 55, en général dans la limite. On paie cela en longueur : pour effacer douze pertes, il faut six gains aux bons endroits, parce que chacun n'enlève que deux pas. Six gains d'affilée depuis le pas 12 ramènent le repère au début. Six gains entrecoupés de pertes peuvent laisser la série vivre des dizaines de tours.
Probabilité d'atteindre un grand pas
La perte de la couleur sur une roue de 38 cases a une probabilité de 20/38. Dix pertes d'affilée, après lesquelles la mise devient 89, c'est (20/38)¹⁰, environ 0,16 %, à peu près 1 cas sur 613. Sur une roue de 37 cases, les cases perdantes sont 19, et la même profondeur est d'environ 0,13 %, à peu près 1 sur 785. La roulette française avec le retour de la moitié de la mise au zéro n'utilise pas ces parts : la règle agit sur la taille de la perte, et non sur le fait que le tour compte comme un pas en avant. Si le zéro n'a pris que la moitié, on ne peut plus appliquer la progression d'un pas entier sans une règle séparée, que la table RoulCoin n'a pas.
| Pertes d'affilée | Mise suivante de la suite | 38 cases | 37 cases |
|---|---|---|---|
| 8 | 34 | 0,59 %, environ 1 sur 170 | 0,48 %, environ 1 sur 207 |
| 10 | 89 | 0,16 %, environ 1 sur 613 | 0,13 %, environ 1 sur 785 |
| 12 | 233 | 0,045 %, environ 1 sur 2 200 | 0,033 %, environ 1 sur 3 000 |
Les chiffres de la dernière ligne sont arrondis à un dénominateur lisible. L'estimation américaine exacte pour douze pertes est (20/38)¹², soit environ 1 sur 2 216. Pour décider de la banque, l'ordre de grandeur suffit : au-delà du dixième pas, la série entre rarement, mais la somme 143 au dixième pas n'est déjà plus théorique.
Un seul gain efface ici deux pas, pas tout le moins. Tant que le repère n'est pas revenu à l'unité, la session n'est pas en plus de la valeur de la suite.
Comment tenir le repère
Un joueur en France voit sur la table RoulCoin les mêmes 38 cases qu'un joueur en tout autre endroit : 18 cases de la couleur choisie contre 20 défavorables. Il est commode de tenir le repère par le numéro du pas, et non de mémoire. Une perte, c'est plus un au numéro. Un gain, c'est moins deux, mais pas en dessous du pas 1. La mise se prend dans la suite, et non « à peu près autant ».
On parcourt d'abord la suite sur des jetons d'exercice : le solde invité est virtuel pour cela et ne part pas en retrait. Jouer en ligne sans inscription ne remplace pas la note de dix pas sur papier. Jouer en ligne pour de l'argent vaut le coup après avoir comparé le pas 10 au maximum du compte.
Trois règles sans lesquelles la suite s'étale :
- Après un gain, reculer d'exactement deux pas, même si l'on veut « figer » une grosse mise.
- Ne pas augmenter l'unité de la suite au milieu de la série. Passer de 1 à 5 multiplie tout le moins ultérieur par cinq.
- Arrêter le repère à un pas choisi d'avance, par exemple au 10e, même si la limite laisse encore passer 89.
Où la suite trompe sur une courte distance
Cinq cycles, chacun fermé en deux ou trois pas, ressemblent à un plus stable de quelques unités. Le sixième, arrivé à la mise 55, emporte 143 si on le coupe sur la perte de ce pas. Une courte session ne montre presque pas ces 143. Un essai a donc un sens non pas jusqu'au premier plus, mais jusqu'à une profondeur fixée d'avance.
Peut-on, après un gain, ne reculer que d'un pas ?
Oui, mais c'est déjà un autre procédé. Un pas en arrière ne ferme pas les deux nombres précédents de la suite, parce que la mise en cours égale leur somme, et non l'un d'eux. Le moins commence à s'accumuler même sur l'alternance « perte, gain ».
La suite convient-elle à une mise sur la douzaine ?
La douzaine paie 2 pour 1, et les cases gagnantes sont 12 sur 38. La suite est calculée pour un paiement de 1 pour 1. Un gain sur la douzaine est plus grand que la mise, il ferme donc non pas deux pas, mais une autre somme. Mélanger ces règles dans une même série est impossible : le repère cesse de correspondre à l'argent.
Où se place le repère après deux gains depuis le pas 8 ?
Le pas 8 est la mise 21. Le premier gain ramène au pas 6, le second au pas 4. Quatre numéros de la suite sont retirés, le moins plus ancien reste. Ces deux tours ne ramènent pas la série à l'unité.
Peut-on miser 20 au lieu de 21 ?
Non. 21 égale la somme de 13 et 8, c'est-à-dire des deux pas précédents. Un gain de 20 ne les ferme pas tous les deux, et le recul de deux pas cesse de correspondre à l'argent sur la table.
À quel pas la suite heurte-t-elle le maximum 500 ?
Le quatorzième pas est 377, encore inférieur à 500. Le quinzième est 610, et la table d'exercice ne l'accepte déjà plus. La rupture arrive ici sur la mise 610, et non à une profondeur « ronde » de dix pas.
Il est utile de garder la suite de Fibonacci à côté d'autres schémas : les stratégies de jeu communes n'annulent ni les 20 cases perdantes sur 38, ni le plafond de mise. Avant les unités réelles, il est logique de jouer en ligne gratuitement et de mener le repère jusqu'au dixième pas au moins une fois sur des jetons d'exercice.